Del Potro y las tres pelotas. El problema de Monty Hall

English version: Del Potro's choice. The Monty Hall problem.

Semifinales de la Copa Davis entre Argentina y Estados Unidos.

Se va a disputar el quinto e intrascendente partido de la eliminatoria, que se resolvió en el partido anterior.

Juan Martín del Potro le pide a Martín Jaite, capitán del equipo, disputar este último encuentro, a pesar de que Jaite ya había decidido que Eduardo Schwank jugase el partido.

Martín Jaite no está muy convencido que juegue Del Potro, pero ante la insistencia del tenista, decide proponerle el siguiente acertijo: le permitirá jugar el partido siempre que averigüe a simple vista, sin tocarlas, cuál de las tres pelotas que tiene en la mano es la que bota mal.

Del Potro contesta que cree que es la de la izquierda, ante lo cual Martín Jaite le dice que la del centro no es, y le ofrece la posibilidad de cambiar la elección de la pelota de la izquierda por la de la derecha, pero Del Potro decide mantener su decisión inicial, ya que piensa que Martín Jaite le está tendiendo una trampa para que no juegue.

¿Habrá hecho bien manteniendo su primera opción? ¿Llegará a jugar el partido?

A pesar de que, aparentemente, tras el descarte de la pelota del centro, la bola de la izquierda y la bola de la derecha  tienen la misma probabilidad de ser la defectuosa, en realidad Del Potro cuenta tan solo con una probabilidad de 1/3 de jugar el partido.

Supongamos que desde un principio, el capitán le hubiera propuesto a Del Potro elegir qué bola era la defectuosa de entre un total de 10 pelotas. La posibilidad de que la defectuosa fuese la elegida por Juan Martín sería de 1/10. Y de que fuese cualquiera de las otras 9 bolas sería de 9/10. Así, al principio, todas ellas cuentan con una probabilidad del 10% de ser la defectuosa: un 1/10 para la escogida inicialmente, y 9/10 para el conjunto de las otras pelotas:

1/10 para la bola elegida A + ( 1/10 para la bola B + 1/10 para la bola C + 1/10 para la bola D + 1/10 para la bola E + ...)

Conforme vamos eliminando bolas de este grupo, lo que hacemos es modificar el porcentaje que les corresponde a cada una de las bolas sobre esos 9/10 de probabilidad. Así, cuando quedan sólo 3 pelotas, más la que hemos elegido, las probabilidades serían:

1/10 para la bola elegida A + ( 3/10 para la bola B + 3/10 para la bola C + 3/10 para la bola D)

Y cuando sólo quedan 2 opciones tenemos:

1/10 para la bola elegida A + ( 9/10 para la bola B)

De esta manera, cuando el capitán elimina el resto de pelotas, la pelota que queda 'hereda’ las probabilidades de todas las pelotas eliminadas, de tal forma que ella sola tendría un 9/10 de probabilidades de ser la defectuosa.

Trasladando esto al ejemplo que nos ocupa, hay 1/3 de posibilidades de que la pelota defectuosa sea la de la izquierda, y 2/3 de que sea una de las otras dos (centro y derecha). Si nos hacen elegir entre estas dos opciones, ¿Cuál escogeríamos? ¿Eligiríamos la bola de la izquierda, que tiene 1/3 de probabilidad, o al conjunto de (centro y derecha), que tiene 2/3? Evidentemente, si nos dieran a elegir entre estas dos opciones, tomaríamos la del conjunto de (centro y derecha).
   

Cuando el capitán dice que la del centro no es la defectuosa, esto no modifica las probabilidades entre la bola de la izquierda y el conjunto de bolas (centro y derecha), sino que lo que hace es modificar las probabilidades dentro de este último conjunto. (Centro y derecha) siguen teniendo 2/3 de probabilidades, de las que a la del centro le corresponden el 0% y a la de la derecha el 100% de las mismas, ‘heredando’ ésta los 2/3 de probabilidad iniciales del grupo.

Así es que habría sido mejor que Del Potro hubiese cambiado de idea tras el descarte de la bola central, y hubiese dicho que la bola defectuosa era la de la derecha.

Este problema es conocido como el problema de Monty Hall. Su nombre hace referencia al presentador del famoso concurso televisivo estadounidense 'Let's make a deal' (Hagamos un trato). En este tipo de concursos, en los que se ofrece un buen premio entre 3 posibles elecciones, y según lo explicado, conviene siempre cambiar la elección realizada, una vez que el presentador del concurso descarta una de las opciones, mostrando que tras ella había un premio 'secundario'.

Desde un punto de vista matemático, y teniendo que:

A = el evento en el que el concursante escoge la opción premiada al principio
A’ = el concursante escoge una opción fallida al principio
B = el concursante acierta manteniendo su elección inicial
B’ = el concursante acierta cambiando su elección inicial
P(A) = probabilidad de que se dé el suceso A
P(A’) = probabilidad de que se dé el suceso A’
P(B/A) = probabilidad de acertar manteniendo la elección inicial, si se acertó al principio
P(B’/A’) = probabilidad de acertar cambiando la elección inicial, si se falló al principio
      

Y aplicamos el teorema de Probabilidad Total, tenemos que:

P(B) = P(B/A) x P(A) = 1 x 1/3 = 1/3
P(B’) = P(B’/A’) x P(A’) = 1 x 2/3 = 2/3

Ya que, en este caso:

P(A) = 1/3
P(A’) = 1-1/3 = 2/3
P(B/A) = 1; P(B/A’ = 0
P(B/A’) = 0; P(B’/A’) = 1